The edge of the bill got stuck in the zipper and ripped.
「お札がファスナーに食い込んでやぶれた」は、
The edge of the bill got stuck in the zipper and ripped.
が言いやすいと思います。
もっと詳しく言う場合は、
When I opened my wallet, the edge of the bill got stuck in the zipper and ripped.
で、より良く伝わると思います。