レッツ・ポジティブ！って英語でなんて言うの？

おっしゃる通り、動詞が抜けているので Let's be positive.が正しいです。
Let's positive! だと「ポジティブをしよう！」という変な文章になってしまいます。

祐希さんもおっしゃっている通り、Let's be positive!で正解です。
positiveは動詞ではなく形容詞なので、be動詞が必要ですね。

あるいは英訳２のように、副詞のpositivelyを使ってthink positively「ポジティブに考える」と表現することもできます。

「レッツ・ポジティブ！」は、

"Let's stay positive!" / "Let's be positive!"

などの表現を使うことが出来ます。

また、

"Let's look on the bright side!"

という表現を使うことも出来ます。

"look on the bright side"は、「物事の明るい面を見る・楽観する」という意味です。

ご参考になれば幸いです。