ご質問ありがとうございます。
質問のような場合には、1)の"Became"がぴったりかなと思います。
意味自体は、「～になった」になります。
I have become interested in ～.
私は～に興味を持つようになった。
2)は、「～をするようになった」と訳すことが出来ます。
お役に立てれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
・「I started to 〇〇.」
＝〇〇するようになった
（例文）I started to like it.
（訳）それを好きになるようになった
（例文）I started to become interested in it.
（訳）それに興味を持つようになった。
便利な単語：
interest 興味
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
日本 
