飽くなき挑戦って英語でなんて言うの？

「挑戦」は"challenge"ですね。

「飽くなき」という意味に当たる形容詞をいくつか見てみましょう。

【回答１】insatiable
飽くなき、貪欲な、とどまるところを知らない

【回答２】tireless
疲れ知らずの、休みない、絶え間ない、根気強い

【回答３】endless
終わらない、永遠の、絶え間のない

どれも意味としては当てはまりますが、「チャレンジし続けることに対して貪欲な」というニュアンスだと、回答１の"insatiable"が一番近いかもしれませんね。

ご参考になれば幸いです！