Don't put all the cookies at a time. Your mouth is full.
Eat them one by one. Your mouth is full.
「一つずつ」は、one by one ですので、そのまま、
Eat them one by one.(themはクッキーのこと）と言ってもいいですし、1番目の文のように、
Don't put all the cookies at a time.
（クッキー、一度に全部入れないの！）と言ってもいいですね。
「お口いっぱいになるよ」は
もう既になっているということでしょうから
Your mouth is full.
でいいでしょう。
(full は「いっぱい」ですので、「お腹がいっぱい」は、I'm full. と言います）
日本 
