こんばんは。
「虚栄心が強い、自信過剰な」などは形容詞の vein （ヴェイン）を使います。
He is vein about his wealth. 「彼は財産を持っていることを鼻にかけている」などと about や of を伴って言うこともできます。
2つ目の vanity （ヴァニティ）は名詞で、「虚栄心、うぬぼれ」という意味です。
なお、形容詞の vain ですが、前置詞 in とセットにして「無駄に」という意味を表します。形容詞なのに不思議ですね。口語でもしばしば使われます。
例が悪いですが、こんな言い方ができます。
He died in vain. 「彼は無駄死にした」
以上、ご参考になれば幸いです。
「虚栄心が強い」人について英語で述べると、"They have a strong desire to show off" や "They have a high level of vanity" となります。
これらのフレーズは「彼らは強く自分自身を見せつける（またはより良くあるいはより大きく見せる）欲望がある」や「彼らは高い虚栄心を持っている」という意味です。
日本 
アメリカ合衆国 
