Don't judge me by your standards.
don't = するな
judge = 判断・見積もる。「批判」のニュアンスがあります。この文の「測る」と同じ意味です
me = 私を
by your standards = お前の基準で
直訳すると「私（の価値）をお前の基準で判断するな」になります。
Who are you to judge me?
who are you = お前は誰？
to judge me = 私を判断・批判して
直訳すると「私を批判して、お前は何者だ？」になります。「それはどの口が言うんだ？」みたいな皮肉な言葉です。
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