「のどまで出かかってるんだけど」は
It's on the tip of one's tongue
と言います。
「それは自分のtongue(舌)のtip(先)に乗っかって(on) いる」
というのが直訳で、もう少しで言えそうなんだけど・・・ということです。
私も、日本生まれ・純日本育ちなのに、そのものズバリの日本語が出なくて、こう言いたくなることが非常に多くて、困っています(笑)
Yoshikoさんがお答えのように、on the tip of one's tongueは「喉まで出かかっているんだけど」と言いたいときの決まり文句ですね。
It's on the tip of my tongue!のように使う以外には、上記の英訳のように使うこともよくあります。
このwhatは「なに」ではなく、「~すること」という意味の関係代名詞なので、主語は「私は言いたいこと」となります。