質問ありがとうございます。
「[病院](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32103/)を予約する」は
❶Make a doctor’s appointment.
❷Schedule a doctor’s appointment.
❸Book a doctor’s appointment.
直訳すると「医者に見てもらうための予約をする」です。
❶❷❸どちらでも大丈夫ですよ。
例えば、
I need to make a doctor’s appointment for next week.
([来週](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/132268/)医者に見てもらうための予約をしなくちゃ)。
I need to schedule a doctor’s appointment by 4pm today,
(今日の4時まで 病院の予約をしなくちゃ)。
Do you want me to book your doctor’s appointment?
(あなたの病院の予約をしてあげようか？)
doctor's appointment = 病院（医者）の予約
make a doctor's appointment = 病院（医者）の予約をする
と言えますよ、参考に！
book を使っても大丈夫ですよ！
book を使った例：
I booked a time for my day surgery at the local hospital.
「地元の[病院](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32103/)で日帰り[手術](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33999/)の予約をした。」
book a time for ~ のように言えますね。
このほかにも、病院関連の予約の言い方の例を挙げてみます。
I made an appointment to see my doctor this Friday.
「今週の金曜日に主治医に診てもらう予約を入れた。」
make an appointment to ~ も使えます。
I set a time for my blood work at the city hospital tomorrow.
「明日市民病院で血液検査の予約をした。」
set a time for ~ のように book や appointment を使わなくても言えますね。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
