Took lessons from teachers of many countries to collect medals
「沢山の国の」を英語にすると、「of many countries」を使います。
「Of」は「沢山の国の」にかかります。
「メダル集めのために」は「to collect medals」と言います。
オリンピックやそのほかのスポーツ特技でも同じような言い方をします。
例えば、ウサインボルト氏のように圧倒的に特技を独占できるような選手は「Usain Bolt collects medals for fun」(ウサインボルトはメダルを遊びに集めている)と言えます。
したがって、「Took lessons from teachers of many countries to collect medals」を提案しました。
お子様がそのようにDMM英会話を使っていらっしゃるなら、「My son/daughter takes lessons from teachers of many countries to collect medals」と言います。