受付に名前を教えたい場合は can I tell you my name などの
表現が良いと思います。
あなたに私の名前を伝えていいですかと聞いてる感じです。
もしくは後者の can I give you my name と言うのも有だと思います。
この場合の give は渡すと言うような意味があります。
Can I leave my name?（名前を残してもいいですか）
お店のスタッフに「順番待ちリストに自分の名前を記載して待たせてほしい」という気持ちが丁寧に伝わります。
また、受付でリストや紙が置いてある状況で「名前を言ってもいいですか」と尋ねたい場合は
May I put my name down?（名前を（リストに）記入してもいいですか）
put my name down (on the list) は、ウェイティングリストに名前を書き加える際によく使われる言い回しです。
日本 
アメリカ合衆国 
