回答
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We will write the reports to our customers in turn from next time.
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From the next time when we report to our clients, we will write it in turn.
Yumi先生が回答している通りだと思いますので、こちらは参考になさってください。
in turn 代わり代わりに、順番に
from next time 次回から
from the next time 次回~する時から(次回がいつか決定済の場合)
next time は、「いつかは具体的にはわからないけれども、次に顧客向けレポートを書く時」と曖昧なニュアンスです。
the next time は、「次にレポートを書く時」が決まっている場合(例えば月例報告書など)の「次回」です。
次の予定が未定な場合は、theをつけないようご注意ください。
回答
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From now on, we'll take turns writing our customer report.
この場合、レポートを書くのが誰なのかが明確でありませんが、上司と部下の二人で交替で書く、という前提の例文です。
英語は主語が誰なのか、また誰に対しての行為なのかを明確にしないと、文章が作れません。
「今後は、私たち二人が交代で顧客向けのレポートを書くことにする」という例文です。
交代で~する、は take turns ~ing という構文で言い表せます。
顧客向けのレポートはシンプルに customer report としましたが、これだと顧客に関するレポートという意味にもとることができます。
ただ、職場でのやりとりなので、皆まで言わずとも通じるだろうという前提です(笑)