◯◯年ごろ携帯電話が普及し始めましたって英語でなんて言うの？

こんにちは。
下記のように表現することができます：

・Mobile/cell phones started to become popular around (year).
「携帯電話は○○年ごろ普及し始めました」

「携帯電話」は mobile phone や cell phone と言います。
アメリカでは cell phone が、ヨーロッパ等では mobile phone と言う人が多いイメージです。

become popular で「普及する」「人気になる」という意味になります。
popular 以外にも widespread（普及した）や commonplace（ありふれた）などを使うのも良いかと思います。

ぜひ参考にしてください。