Mobile/cell phones started to become popular around (year).
こんにちは。
下記のように表現することができます:
・Mobile/cell phones started to become popular around (year).
「携帯電話は○○年ごろ普及し始めました」
「携帯電話」は mobile phone や cell phone と言います。
アメリカでは cell phone が、ヨーロッパ等では mobile phone と言う人が多いイメージです。
become popular で「普及する」「人気になる」という意味になります。
popular 以外にも widespread(普及した)や commonplace(ありふれた)などを使うのも良いかと思います。
ぜひ参考にしてください。