"I couldn't (I could not)"=「出来なかった」
"register"= 「登録」
"for my courses"= 「私の(登録するはずだった)授業のため」
"register"の代わりに"sign up"というフレーズも使えますが、少しカジュアルなニュアンスはあります。
「失敗した」は"did not succeed (in)" あるいは、"failed (to)"という言い方もできます:
"I did not succeed in registering (for my courses)"
"I failed to register (for my courses)"← ただ、これは自分のミスによって登録できなかった、という意味になります。