I'm glad that I can introduce myself properly! Nice to meet you!
日本語の「よろしくお願いします」にあたるフレーズは英語ではないのですが、"nice to meet you"（お会いできてうれしいです）がよく使われていると思います。
"I'm glad that I can introduce myself properly"＝「きちんと自己紹介ができてうれしいです」
Example in context: "Hello! I'm glad to be able to introduce myself properly at last. Nice to meet you!" （こんにちは！やっとちゃんと自己紹介ができてよかったです。よろしくお願いします！）
I’m looking forward to getting to know you better.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
Nice to properly meet you!
とすると、「[改めまして、](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42634/)こんにちは！」という意味になります。
また、「改めまして、よろしくお願いします！」の場合は
I’m looking forward to getting to know you better.
とすると、自然にニュアンスが伝わります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
looking forward to ～ ～を楽しみにしている、よろしくお願いします
get to know someone 知り合う、親しくなる
参考になれば幸いです。
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