I handed out my resume to so many shops that I don't know how many tens of restaurants I went to.
ご質問ありがとうございます。
「何〜」としては数字の後にSを付けて複数形にします。下記に例を書きます。
何十：tens （I went to tens of restaurants)
何十二：dozens (I went to dozens of restaurants)
何百：hundreds (I went to hundreds of restaurants)
など
dozensとtensは同じような意味として使えますので、回答の英文ではtensの代わりにdozensを使っても大丈夫です。
ご参考いただければ幸いです。
I can't even remember how many dozens of stores I gave my resume to.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI can't even remember how many dozens of stores I gave my resume to.
「何十件の店に履歴書を渡したか覚えていない」
ここの「何十件」は dozens of stores を使って言えます。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
