最初の言い方は、I put the hair tie on my wrist は、ヘアゴムを手首に巻くと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、hair tie はヘアゴムと言う意味として使われています。wrist は、手首にと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、I put the hair rubber bands on my wrist. は、私は手首に髪の輪ゴムをつけていますと言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、hair rubber bands は髪の輪ゴムと言う意味として使われていました。
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ーYou should put the rubber band on your wrist so you don't lose it.
「失くさないように、手首に輪ゴムを巻いておきな。」
to put a rubber band on one's wrist で「輪ゴムを手首に巻く」と言えます。
rubber band で「輪ゴム」
ーYou should just put the elastic around your wrist so you'll know where it is.
「失くさないように手首に輪ゴムを巻いておきな。」
to put an elastic around one's wrist でも「輪ゴムを手首に巻く」と言えます。
elastic で「輪ゴム」
so you'll know where it is を直訳すると「あなたがそれがどこにあるか知っておくために」となり「失くさないように」というニュアンスになります。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
