申込書はapplicationだけでもいいですし、application formと言ってもokです。
「よろしくお願いします」は残念ながらぴったり該当する英語訳がないものの一つですので、もし対面で出すなら「Thank you」程度のお礼の言葉を添えたり、あとはメールなど書面に添付して送るなら「I'm looking forward to ~: ~を楽しみにしている」と言うのを使ってもいいと思います。
例えば、「I'm looking forward to learning with you. あなたと学べるのを楽しみにしています。」や「I'm looking forward to the programme.そのプログラムを楽しみにしています。」などです。