電話の担当者って英語でなんて言うの？

ご質問ありがとうございます。

「電話の担当者」は英語で言いますと「Caller」になると思います。

「電話をかける」は英語で言いますと「To call」か「To make a call」です。「電話をかけた人」は「Caller」になります。

「担当」は「Person in charge」といいますので「電話の担当者」は「Person in charge of calls」を言えます。

「メールの担当者」は「Person in charge of emails」になります。
「チャットの担当者」は「Person in charge of chats」です。

役に立てば幸いです。

英語では（一般動詞）＋ "er" （する物／する人）という形がとれますが、
mail にせよ、chat にせよ、いずれも動詞にもなることからこの er　をつけた表現が可能。

電話 = phone　という単語も、あの有名な Ｅ．Ｔ．の映画の名言、「E.T. phone home!!」（Ｅ．Ｔ．家に電話する）というふうに強制的に動詞にした使い方もできないことはありませんが、まだまだ一般的ではありません。

なので、phoner とは言えず、電話をかける、であれば　call を使うので caller がいいのかもしれませんね。

ただ現実を考え、もし私がその場にいたら　phone guy / lady （電話を担当している人）という使い方もすごく自然。　 mailer, chatter はあっても必ずしも全部統一した表現にする必要はなく、一番自然でよく聞く、使われる表現を採用するといいかもしれませんね。
だから電話だけでも、電話の人、という言い方をしてもアリですね。

最後、お堅い、直接的な表現で言うならば、person in charge （直訳で担当者）という表現を使ってもまた通じます。

どれもまた参考にしてみてください。