会員限定って英語でなんて言うの？

「限定」という言葉をどう訳すか迷うかもしれませんが、意外と簡単にonlyで通じます。

キャンペーンについて書くとしたらこんな感じでしょうか？

This campaign is for members only.
このキャンペーンは会員限定です。

Members will have a chance to win a luxurious prize!
会員は豪華景品が当たる可能性があります。

参考になれば幸いです。

既に回答がされていますが、私はそれ以外の言い方をご紹介します。

会員限定は limited to members (only)ということが出来ます。

These benefits are limited to members (only).
(これらの特典は、会員限定です）
などと使われます。

ご参考まで。

members only で「会員限定」を英語で表現することができます。

member は「メンバー」、つまり「会員」という意味です。
only は「のみ」「だけ」の意味で、「限定」のニュアンスで使うことができます。

例：
This service is available to members only.
このサービスは会員限定で提供されています。

お役に立てればうれしいです。