ご質問ありがとうございます。
この「公式」とは数学などで使う公式、という文脈であっていますでしょうか。
もしそうでしたら、「公式」は"formula"になります。
確かに、"mechanically"は「機械的に」ですが、あまり考えずにそのまま公式を適用する、という意味でしたら、"automatically"(自動的に)の方が自然な表現かと思います。
例文:"I can't prove this formula. I just use it automatically, without thinking about it."
ご参考になると良いです!