「喋り方がうつってる」をそのまま直訳するとTheir way of speaking is spreading (to me)となりますが、ネイティブの立場からすると少し不自然に聞こえる言い方です。一番ぴんと来る言い方はI'm starting to talk like themです。〜like that personは「あの人みたいに（あの人と同じような感じで）〜する」という意味ですので、I'm starting to talk like themは「友達みたいに喋るようになってきた」つまり「友達みたいな喋り方になってきた」という意味です。
また、talkではなくspeakを使うこともできます。同じ意味ですが、talkのほうが日常会話に使われることが多いです。
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