ウチのチンちゃんは早朝は手を出すとすぐのってくるのに、夜は全然です。！って英語でなんて言うの？

My pet chinchilla rat, Chin, likes to get on my hand in the early morning, but at night, he/she is usually not in the mood.
私のペットチンチラネズミのチンは早朝は私の手に乗るのが好きなのに、夜はそういう気分じゃないみたいです。

ネズミのチンチラってあまりイメージがなくて画像検索してみたんですが、なんかハムスターとウサギとモルモットが合わさったような雰囲気で可愛いですね！

「手に乗る」は get on my hand でどうでしょう。
not in the mood の mood は「気分」で、フレーズとしては「気分が乗らない」「そういう気分じゃない」という意味です。

日本語ではあまり文章が長くても気になりませんが、英語に直訳すると不自然になる事がたくさなります。

「○○の誰々」（この場合は「チンチラのチン」）は「誰々 the ○○」の形式を覚えれば応用が利きます。ですから、「チンチラのチン」はMy Chin the Chinchillaとなる訳です。

もちろん、「私のチンチラのチン」としてMy Chinchilla, Chinでもオッケーです。
言いやすい方を選んでください♪

「手を出すとすぐのってくる」は言い換えると「手に乗るのが好き」または「相手にされるのが好き」にできますね。

「手に乗るのが好き」は例文１．２のように（１） likes to be on my hand in the morning や（２） loves being on my hand in the morningとなります。

「相手にしてもらうのが好き」＝「注目されるのが好き」なので「 loves attention in the morning」となる訳です。

文章の最後に「夜は全然」の「but she/he doesn't do it at night」や「 but not at night」をつなげればOK!