回答
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Let's stay up all night and study together on a video call.
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Let's call each other and stay up all night studying.
「徹夜する」は「stay up all night」といいます。
「通話する」ですが、普通の電話の「call」でも使いますし、動画付きの通話、ZoomやFaceTimeにも使いますので、適切なのをお使いください。動画付きの通話は「video call」です。
Let's stay up all night and study together on a video call.
徹夜で勉強しながら通話しよう。
Let's (video) call each other and stay up all night studying.
電話して徹夜で一緒に勉強しよう。
回答
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Let's stay up all night and talk
徹夜する は一晩中起きてると言う意味で
stay up all night と言う表現を使うのがおすすめです。
通話 は 話すで talk などが使えます。
ビデオ通話で ○○(ビデオ通話のツール)で通話する と言った感じで
talk on _ _ と言うのも可。
勉強しながら を加えたい場合は while studying と最後に
つけると良いでしょう。