As I keep listening to it, I have become able to pick up specific sounds.
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
『聞き続けていると特有の音が聞き取れるようになってきた』は、
いくつか言い方が考えられますが、
As I keep listening to it, I have become able to pick up specific sounds. と言えます。
また、
I get used to the language as I keep listening to it. とすると
『それを聞き続けるにつれてその言葉に慣れる。』と表現することもできます。
メモ
have become able to xxx XXXできるようになってきた
参考になれば幸いです。