When I wake up in the morning, I only skim through the parts I can understand in the newspaper
Skim は飛ばし読みなどを意味するおすすめの単語です。
朝起きたら は when I wake up in the morning と表現できます。
文章の最後に持って来るのも可能です。
ざっと目を通す で skim through と表現できます。
新聞の理解出来る部分 は the parts I can understand in the
newspaper と表現すると良いです。