朝起きたらざっと新聞の理解出来る部分だけ目を通しますって英語でなんて言うの？

Skim は飛ばし読みなどを意味するおすすめの単語です。

朝起きたら は when I wake up in the morning と表現できます。
文章の最後に持って来るのも可能です。

ざっと目を通す で skim through と表現できます。

新聞の理解出来る部分 は the parts I can understand in the
newspaper と表現すると良いです。