最初の言い方は、The clipping of a video on YouTube は、you tube ビデオの切り抜きと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、clipping of a video は、ビデオの切り抜きと言う意味として使われています。例えば、Is it okay to post a clipping of a video on YouTube? は、ユ-チュ-ブにビデオの切り抜きをアップロードしてもよろしいでしょうか？と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、The short clip of a video on YouTube は、ユ-チュ-ブの短い切り抜きと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方では、short clip は、短い切り抜きと言う意味として使われています。
他にはシンプルに a Youtube clip や a short Youtube clip のように言うこともできますよ。
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"the snippet of a YouTube video"や"the segment of a YouTube video"という表現が適切な場合があります。前者の"snippet"は一部分・断片という意味で、後者の"segment"は部分・区分という意味です。
具体的な質問文は以下のようになります：
"Can I upload a one-minute snippet of your one-hour YouTube video?"
「あなたの1時間のYouTube動画から1分間だけのスニペットをアップロードしてもよろしいですか？」
または
"Can I upload a one-minute segment from your one-hour YouTube video?"
「あなたの1時間のYouTube動画から1分間だけのセグメントをアップロードしてもよろしいですか？」
辞書よりも直訳ではなく、具体的な使い方を理解することが英会話の上達に役立つと思われます。どちらの表現もYouTubeの動画の一部を指す表現で、どちらを使うべきかは文脈によります。
アメリカ合衆国 
