「シャッターを切る」に一番近い表現はto release the shutterだと思います。
to release(開放する) + the shutter(シャッター)です。
ご存知と思いますが、「写真を撮る」は一般的に “to photograph”, “to take a picture” などと言われていますよね。他にも"to click away" 「写真をパチパチ続けて撮影すること」"to shoot images" 「写真を撮る」(shootの元の意味は「銃などを撃つ」)などがあります。
例)
To be a good photographer, you have to learn the skill of releasing the shutter properly.
「いい写真家になるには、きちんとシャッターを切る技術を学ばなければいけないよ。」