What is the name you use to refer to your mom at home?
最初の言い方は、What do you call your mom at home? は、家でお母さんのことを何と呼んでる？と言う意味として使われていました。
最初の言い方では、What do you call は、何と呼んでると言う意味として使われています。at home は、家でと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、What is the name you use to refer to your mom? は、お母さんのことを何と呼んでる？と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方では、to refer to は、何と呼ぶと言う意味として使われています。
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こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば以下のような英語表現はいかがでしょうか：
What do you call your mom at home?
家でお母さんのことを何と呼んでる？
What do you call your dad at home?
家でお父さんのことを何と呼んでる？
ぜひ参考にしてください。
What do you call your mom?
What do you call your mother at home?
What do you call your parents at home?
How do you address your mom and dad at home?
「お母さんのことを何と呼んでる？」は、英語ではシンプルに “What do you call your mom?” が自然です。
call は「電話する」だけではなく、「（人を）〜と呼ぶ」という意味でもよく使います。だから “call your mom” は「お母さんのことをママって呼ぶ」の call になります。
at home を足すとニュアンスがはっきりします。
What do you call your mom at home?
「家ではお母さんのこと何て呼んでるの？」
アメリカ合衆国 
