「hand in」や「turn in」は確かに「提出」という意味ですが、尿を提出の場合、「hand in」の方が適切だと思います。「turn in a urine sample」と言えるかもしれませんが、自然な言い方として、「hand in」の方が良いと思います。
「尿検査で、尿を提出しました」は翻訳すると「During a urine test, I handed in my urine sample.」になります。検査の為尿を提出するので、「urine」だけではなく、「urine sample」と言ったら、もっと分かりやすいと思います。
ご参考になれば幸いです。
宿題を提出する、などに使うhand in, turn inは、こういう場合、使えるのでしょうか？
はい、使えます。
"尿検査で、尿を提出しました。"
- I turned in a urine sample for a urinalysis.
- I handed in a urine sample for a urine test.
turn in と hand in の違いはほぼないです。
どっちも同じ意味です。使う場合も同じです。
違いは一つだけで、小さな違いです。
"hand in" is used when referring to submitting physical objects such as homework to your teacher in person.
"hand in" は物理的（？）実際手でつかめるものに関して使います。例えば宿題のプリントを先生と直接わたすとき。
"turn in" は実際手に持てなくても使います。例えばオンラインで宿題を提出するとしても、先生に直接わたすとしても "turn in" を使えます。
アメリカ合衆国 
