こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
日本の一般的なエアコン（壁につける横長のもの）であれば、以下のように説明できます。
Open the cover 『カバーを開ける』
Remove the filter 『フィルターを外す』
Vacuum the dust on the filter 『フィルターのホコリを掃除機で吸う』
Wash the filter with water 『フィルターを水で洗う』
Allow to dry the filter. 『フィルターを乾かす』
Place the filter back into the original position. 『フィルターをもとの位置に戻す。』
参考になれば幸いです。
掃除したあとにフィルターを戻す場合は put back が自然です。
「取り付ける」というより、「外していたものを元に戻す」というニュアンスになります。
例文:
"Put the filter back in the air conditioner."
「エアコンにフィルターを戻してください。」
例文:
"Can you put the filter back?"
「フィルターを戻してくれますか？」
この put back は日常会話でとてもよく使われます。
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