My wife and I both work, so whichever one of us is available at the time usually does household chores.
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
『共働きなので家事はその時できる方がやっています。』は、いくつか言い方が考えられますが、『My wife and I both work, so ~』を使って説明するのであれば、
My wife and I both work, so whichever one of us is available at the time usually does household chores.
と言えます。
メモ
available 手が空いている、応対できる
at the time その時に、その時点で
household chores 家事
参考になれば幸いです。