「彼は政治腐敗を根絶することを公約した」って英語でなんて言うの？

「corruption」で大丈夫ですよ。
Manaさん こんばんは。ご質問ありがとうございます。
一例をご紹介させていただきますね。

《英訳例の意味》

He promised to do→彼は...することを約束した

stamp out corruption→腐敗を根絶する

clean up corruption→腐敗を一掃する

《語句の確認》

【英辞郎】

stamp out
【句動-1】〔たばこの火などを〕足で踏み消す
【句動-2】〔犯罪・病気などを〕撲滅［根絶］する

clean up
【句動-1】きれいに掃除［清掃］する、片付ける、浄化する、後片付けをする、部屋をきれいにする、きちんと整理する、きちんと身支度をする、身なりを整える、着替えをする、体を洗う
【句動-2】〔悪・腐敗・不正などを〕一掃する、粛正する、退治する

corruption
【名】汚職、買収、〔政治的〕腐敗

【Merriam-Webster】

corruption
noun
: dishonest or illegal behavior especially by powerful people (such as government officials or police officers)
↓
corruption
名詞
: 特に権力者(官吏、警官など)による不正もしくは違法行為

★ 公約する
「公約する」は「promise」で十分だと思います。
「promise to do」で「...することを約束する」と言うことができます。

★ 根絶する
「stamp out」「clean up」、いずれも「corruption」と相性のいい表現です。
「stamp out」には「(たばこの火などを)足で踏み消す」(英辞郎)との意味があり、そこから「撲滅［根絶］する」との意味を持つようになったのではないかと思います。

お役に立てば幸いです。
ありがとうございました。

「公約する」とは「選挙公約」のことなので、「選挙活動を通して約束した」と表現を加えました。

make a promise＝「約束する」
in the campaign=「選挙活動を通して」
root＝「根本」
root out＝「根元から抜き取る、根絶する」
political=「政治的な」
corruption＝「腐敗」

He made a promise in the campaign that he would root out political corruption.
彼は国民に対し、政治腐敗を根絶することを約束した。

state＝「宣言する」
He stated in the campaign that he would root out political corruption.

ご参考までに