こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『Diet goes on. は正しい表現でしょうか？』について、diet は、『食生活、食習慣』となるので、既に自分の食習慣などがあり、それが進み続けるというような意味合いで使うのであれば、
The diet goes on.
とすることは可能です。
『座右の銘にしたい』とのことですので、例えば、
Keep my emotions under discipline.
とすると、『感情を抑える』という意味ですが、今回の場合『自分の決めた食習慣を守り、他のものが食べたいという感情を抑える』という意味を込めて表現しました。
参考になれば幸いです。
「ダイエットは続く」は、The diet continues. や My diet goes on. と表現できます。
My diet goes on. は、Life goes on. と同じように「〜は続く」というニュアンスをうまく表現しており、座右の銘にしたいという意図にぴったりです。
goes on は「続いていく」「終わることなく続く」という意味で、continues は「続く」という意味の、より一般的な表現です。
My diet continues today.
（今日もダイエットは続く。）
のように、continues を使うこともできます。
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