Besides your own, please write the name of the person you thought was good.
ご質問ありがとうございます。
「良いと思った自分以外の人の名前を書きましょう」は英語で「Besides your own, please write the name of the person you thought was good.」と言えます。
まず、「Besides your own」は「自分以外」という意味です。
そして、「please write the name of the person」は「人の名前を書いてください」を表します。
最後に「you thought was good」は「良いと思った」という意味です。
ご参考になれば幸いです。
Please write the name of one person you think is good, excluding yourself.
この場合は、"Please write the name of one person you think is good, excluding yourself." が適しています。
「excluding yourself」は「あなた自身を除いて」という意味です。
他の言い方
「Please nominate someone other than yourself.」
『あなた自身以外の人を指名してください。』
「nominate」は「指名する、推薦する」という意味で、この状況にぴったりの単語です。