My entrance exams are approaching, so I'm doing my best.
I've got my entrance exams coming up, so I'm studying hard.
ご質問ありがとうございます。
① "My entrance exams are approaching"＝「入試が近々にあるので」
"so I'm doing my best."＝「最善を尽くしています。」
② "I've got my entrance exams coming up"＝「私の入試はもうすぐだから」
"so I'm studying hard."＝「頑張って勉強しています。」
ご参考に、and good luck with your exams!
My exams are coming up.
（試験が近づいています/間近に迫っています。）
→ come up は「（時期などが）近づく」「迫る」という意味で、非常に一般的です。
My exams are just around the corner.
（試験がもうすぐそこまで来ています。）
→ around the corner は「すぐ近くに」「間近に」という意味の口語的なイディオムです。
「がんばっている」は、状況に応じてI'm studying hard（懸命に勉強している）やI'm trying my best（全力を尽くしている）を使います。
アメリカ合衆国 
