残り10秒で逆転して、そのまま勝利したって英語でなんて言うの？

最高に興奮する瞬間ですね。

turn a game around
a comeback
a come-from-behind victory
an upset victory

全て「逆転」を意味する表現です。ニュアンスも大きくは変わりませんが"a comeback"が最もよく用いる表現でしょう。
なお、「逆転」という表現を用いている時点で「勝利した」ニュアンスは伝わりますが、それでもなお強調したい場合は上述の文に

"He ran away with the game/victory"

と付け加えましょう。

英訳1：flip や turn は「ひっくり返す」という意味。flip/turn the tables で「形勢を逆転させる」というフレーズです。
「残り10秒で」は、「残り10秒の間に」という意味合いから、in the last 10 seconds と言えます。

英訳2：come from behind は、「後ろから来る」という意味ですが、試合などの場合は「逆転勝ちする」という意味になります。

英訳3：with only 10 seconds left「たった残り10秒をもってして」も、いい表現です。