まず質問文は What are you going to do in the winter? や What are you going to do this winter? と言った方がいいです。
その答え方ですが、keyshaさんの英文どちらでも正しいですよ。
ーl'm going to go skiing.
ーI'm going skiing.
または次のようにも言えます。
ーI'm planning on doing some skiing.
ご参考まで!
ご質問ありがとうございます。
・I'm going skiing.
=「私はスキーに行きます。」
(例文)I'm going skiing tomorrow.
(訳)私は明日スキーに行きます。
(例文)I like skiing.
(訳)私はスキーするのが好きです。
・I'm planning to go skiing.
=「私はスキーに行く予定です。」
(例文)I'm planning to go skiing next month.
(訳)私は来月スキーに行く予定です。
お役に立てれば嬉しいです。
Coco