The baby will be born soon, so we've come to look around a baby store.
ご質問ありがとうございます。
「出産」はbirthですが、自然な言い方では赤ちゃんを主語にして受け身形にしていますので、上記にthe baby will be bornと書いています。
当たり前過ぎでありえないかもしれません、赤ちゃん（baby)のアイテムが売っているお店（store）はbaby storeと呼ばれています。地方や国によって他の言葉があるに違いないですが、baby storeだけで通じるはずです。
ご参考になれば幸いです。
The baby will be born soon, so I went looking for a baby store.
「もうすぐ出産なので赤ちゃん用品店を下見してきた」は英語で「The baby will be born soon, so I went looking for a baby store.」と言います。「赤っちゃんのアイテムが売っているお店」と言えば「baby store」でも言えますが、海外では人は赤ちゃんの用品をデパートや大きいお店で買う人が多いです。
もうすぐ出産なので赤ちゃん用品店を母と一緒に下見してきた。
The baby will be born soon, so I went looking for a baby store with my mom.
アメリカ合衆国 
カナダ 
