Mr./Ms. Tanaka's vaccine appointment is for the first of next month.
His/her appointment for the vaccine is the first of next month.
ご質問ありがとうございます。
口頭、書き言葉をあまり区別した言い方は思いつきませんでした。①と②は両場面で利用できます:
① "Mr./Ms. Tanaka's vaccine appointment is for the first of next month."=「田中様のワクチンの予約は来月の一日です。」
② "His/her appointment for the vaccine is the first of next month."=「彼・彼女のワクチンの予約は来月の一日です。」
ご参考に。