「ばんばん仕事をする」は英語で次のように言えるかと思います。
ーto keep working hard
「精を出して働き続ける・あくせく働き続ける」
ーto work at a mad pace
「狂わんばかりのペースで働く」
例:
I hear he worked really really hard at his last job.
「彼は前の職場でバンバン働いていたらしいよ」
to work really really hard「めちゃめちゃあくせく働く」 を使っても「バンバン働く」を表現できます。
at his last job で「前の職場で」
It sounds like he worked like a mad man at his last job.
「彼は前の職場でバンバン働いていたらしい」
to work like a mad man「狂人のように働く」で「バンバン働く」とも言えます。
ご参考まで!