ご質問ありがとうございます。
難しいですね！確かに「両方とも」はboth of themですが、今回both of themは卵のことになってしまいます。例えば、卵を２個作る時に「両方とも」は「二つの卵」のことです。でも、「友達の分」のことを伝わるため、上記の英文を使ってみてください。
他の言い方：Both of us would like them over easy.
ご参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
「How do you like your eggs?」と聞かれたら、「両方とも〜焼きでお願いします。」と言いたいなら、英語で「Over easy for both me and my friend, please.」と言えます。
「両方とも」は英訳すれば、確かに「both of them」と言いますが、このシチュエーションで「for both」だけで十分です。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
