ーNeither A nor B exist anymore.
「AもBももう存在しない」
neither を使うなら neither A nor B のように nor を使うと良いでしょう。この場合 no moreではなく anymore を使います。
ーI don't think either A or B are around anymore.
「AもBももう存在しない」
either を使っても表現できます。その場合は否定文にし(ここでは I don't think) either A or B とすると良いですよ。この場合も anymore を使います。
ご参考まで!