I made an appointment at the beauty salon for June the 10th.
But I was wondering if it would be possible to make an earlier appointment.
ご質問ありがとうございます。
少なくともアメリカでは、日本のように「すみません」などの言葉は本当に謝る必要があることをした場合に限る、という文化だと思います。よく日本人がアメリカで"I'm sorry"と日本語と同じ感覚で言うと"What for?"(何のために?)と聞かれて戸惑った、という笑っていいのか、又は文化の違いは相当深刻だ、と考えさせられるエピソードがあります。
今回の文脈では、予約を早めるのが可能かどうか聞くだけなので、謝罪を含む単語を使わずに"I was wondering..."や"If it would be possible..."などのフレーズを使うことをお勧めします。
ご参考に。