I made an appointment at the beauty salon for June the 10th.
But I was wondering if it would be possible to make an earlier appointment.
ご質問ありがとうございます。
少なくともアメリカでは、日本のように「すみません」などの言葉は本当に謝る必要があることをした場合に限る、という文化だと思います。よく日本人がアメリカで"I'm sorry"と日本語と同じ感覚で言うと"What for?"（何のために？）と聞かれて戸惑った、という笑っていいのか、又は文化の違いは相当深刻だ、と考えさせられるエピソードがあります。
今回の文脈では、予約を早めるのが可能かどうか聞くだけなので、謝罪を含む単語を使わずに"I was wondering..."や"If it would be possible..."などのフレーズを使うことをお勧めします。
ご参考に。
I had an appointment on June 10th. Sorry for the short notice, but could I move it to an earlier date?
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I had an appointment on June 10th. Sorry for the short notice, but could I move it to an earlier date?
とすると、「6月10日に予約をしていたのですが、[急なお願いで申し訳ありません](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/26079/)、予約日を早めてもらえますか？」というニュアンスになります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
short notice 急なお願い
move an appointment 予約を変更する／早める
apologize for the inconvenience ご迷惑をおかけして申し訳ありません
参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
日本 
