ご質問ありがとうございます。
この習慣が英語圏ではありませんので綺麗な英訳もありません。インターネットで調べたら、中国のZhua Zhou（選び取りカードの由来）がよく現れて、そのまま英語になったみたいです。でも、もっと説明的な言い方はbirthday grab celebrationだと思います。
例文：In Japan, we celebrate a child's first birthday with the birthday grab celebration. The child chooses a card from a group with images of things like sports, books, and instruments. The card they choose tells the fortune for the child's future.
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
