When I was playing with my son in the park, he suggested that we should go play in a different park.
ご質問ありがとうございます。
「言い出す」は英語で「suggest」と言います。
「息子と公園で遊んでいたら、息子が違う公園で遊びたいと言い出した」と英訳したいなら、そうすると、「When I was playing with my son in the park, he suggested that we should go play in a different park.」になります。
上記の文章は過去形なので、「suggest」の過去形「suggested」になりました。
ご参考になれば幸いです。
おっしゃられている内容は、一番シンプルに表現するなら、say「言う」と表現すれば十分です。
My son said "I want to go to another park."
「息子が「別の公園に行きたい」と言った」
「言い出した」というニュアンスにこだわる理由はないと個人的には思います。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)