この場合、次のような言い方をすると自然で良いでしょう。
ーDo you know any Japanese anime?
「日本のアニメを何か知っていますか?」
ーAre you familiar with any Japanese anime?
「何か日本のアニメになじみがありますか?」
familiar with で「よく知っている・なじみのある」
ご参考まで!
ご質問ありがとうございます。
この場合、相手に日本のアニメはご存知かどうか聞きたいなら、英語で「Are you familiar with any Japanese anime?」と言えます。
最初の「Are you familiar with...」というのは「Do you know...」と同じ意味です。
ちなみに、「Do you know」の方が良いであれば、「Do you know any Japanese anime?」や「Do you know any anime from Japan?」と言えます。
ご参考になれば幸いです。