I'm going grocery shopping then I have to pick up my daughter at preschool.
I have to pick up a few things at the supermarket then I have to collect my daughter from daycare.
この場合、次のように言うと良いですよ。
ーI'm going grocery shopping then I have to pick up my daughter at preschool.
「食料品の買い物に行ってから、娘を保育園に迎えに行きます」
to go grocery shopping で「食料品の買い物に行く」
to pick up my daughter at ... で「娘を…に迎えに行く」
ーI have to pick up a few things at the supermarket then I have to collect my daughter from daycare.
「スーパーでちょっと買うものがあって、それから娘を保育園に迎えに行かなくてはいけません」
to pick up には「買う」という意味もあります。
to collect my daughter from ... で「娘を…に迎えに行く」
ご参考まで！
I'm going to buy groceries, then pick up my daughter from daycare.
「食料品を買いに行き、保育園にいる娘を迎えに行きます」は英語で「I'm going to buy groceries, then pick up my daughter from daycare.」と言います。「食料品」はスーパーで買ったら、完全に「groceries」になります。また、「保育園」は「daycare」だけで大丈夫ですが「daycare center」も使えます。
食料品を買いに行き、保育園にいる娘を迎えに行きますが、まだちょっと早いです。
I'm going to buy groceries, then pick up my daughter from daycare, but it's still a little bit early.
カナダ 
