こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I will probably be late for my shift because I am stuck in traffic.
とすると、『渋滞にはまっているからおそらくシフトに間に合わない。』
I will probably be late for work because I am stuck in traffic.
とすると、『渋滞にはまっているからおそらく仕事に遅れます。』と言えます。
I will probably not be able to start working on time because I am stuck in traffic.
とすると、『渋滞にはまっているからおそらく時間通りに仕事を始められない。』と言えます。
勤務開始時間は the start of my shift というようにも言えますが、ここではシンプルに late for my shift 『シフトに遅れる』（自分の勤務開始時間に遅れる）と表現しています。
参考になれば幸いです。
「勤務開始時間」は英語で start time at work のように言えますが、ご質問の文を言うなら、次のように言うのが自然かと思います。
ーI'm stuck in traffic, so I don't think I'll make it to work on time (for my part-time job).
「渋滞にはまっているので、仕事の時間に間に合わないと思います」
to be stuck in traffic で「渋滞にはまる」
to make it で「間に合う」
「アルバイトの」を言いたいなら、最後に for my part-time job をつけると良いですが、なくても全然問題ありません。
ご参考まで！
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