こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、『宿泊証明書』は、a certificate that proves your stay in a hotel というように説明できます。『宿泊証明書』というものがない国では、hotel invoice や、hotel receipt または、booking confirmation などが、それに近い役割をしているようです。
役に立ちそうな単語とフレーズ
certificate 証明書
参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
ホテルで発行される、実際に宿泊したことを証明する為、「宿泊[証明書](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/38716/)」を頼みたいなら、「Lodging certificate」と言えます。
また、説明したいとき、「It is a certificate to prove that you stayed the night here.」という風に言えます。
ご参考になれば幸いです。
日本 
アメリカ合衆国 
